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——「语言是跟随人一生的“烙印”」
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北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（文科）
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中 ，选出符合题目要求的一项)
（1）如果 ， ，那么集合
A.空集B.C.D.
（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人 ，那么应在大一抽取的人数为
A.200B.100C.80D.75
（3）如果， ，，那么三个数的大小关系是
A.B.C.D.
（4）如果过原点的直线与圆切于第二象限 ，那么直线的方程是
A.B.C.D.
（5）设函数若，则实数的取值范围是
A.B.C.D.∪
（6）“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件
（7）如果某四棱锥的三视图如图所示 ，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有
A.
B.
C.
D.
（8）如果函数在定义域内存在区间 ，使在上的值域是 ，那么称为“倍增函数”．若函数为“倍增函数” ，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二 、填空题(共6小题，每小题5分 ，共30分)
（9）如果是纯虚数 ，那么实数．
（10）如果执行如图所示的程序框图 ，那么输出的___．
（11）如果直线l ：与双曲线的一条渐近线平
行，那么=__．
（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星 ，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态 ，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度 ，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示
编码方式1
编码方式2
码元0
码元1
信号发出后 ，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码 ，比如 ，信号发送端如果按编码方式1发送 ，同时接收端按编码方式1进行解码 ，这时能够完美解码 ；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.
（13）已知中 ， ，且，那么_______，____．
（14）已知甲 、乙、丙三人组成考察小组 ，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里 ，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.
三 、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明 ，演算步骤或证明过程)
（15）（本小题13分）已知点在函数的图象上.
(Ⅰ)求的值和最小正周期 ；(Ⅱ)求函数在上的单调减区间.
（16）（本小题13分）已知数列是等差数列，前项和为 ，若．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求的值．
（17）（本小题14分）如图 ，在四棱锥中，四边形是平行四边形 ，且，,平面.
（）为棱的中点 ，求证：平面 ；
（）求证 ：平面平面；
()若 ，,求四棱锥的体积.
（18）（本小题13分）某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位 ：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0.5,1）
20
2
[1,1.5）
40
3
[1.5,2）
80
4
[2,2.5）
120
5
[2.5,3）
60
6
[3,3.5）
40
7
[3.5,4）
20
8
[4,4.5）
20
（Ⅰ）求a,b的值 ；
（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；
（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替 ，经过估算 ，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65% ，经过同学们的节水宣传 ，三个月后 ，又进行一次同等规模的随机抽样调查 ，数据如右图所示 ，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由.
（19）（本小题13分）已知椭圆的左右两个焦点为 ，且 ，椭圆上一动点满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率 ；
（Ⅱ）如图，过点作直线与椭圆交于点 ，过点作直线 ，且与椭圆交于点 ，与交于点 ，试求四边形面积的最大值.
（20）（本小题14分）设函数 ，．
(Ⅰ)若是的极值点 ，求的值 ，并讨论的单调性 ；
(Ⅱ)已知函数，若在区间内有零点，求的取值范围 ；
(Ⅲ)设有两个极值点， ，试讨论过两点 ，的直线能否过点，若能，求的值；若不能，说明理由．
北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）
数学（文科）参考答案
一 、选择题（本大题共8小题，每小题5分 ，共40分）
（1）D（2）C（3）A（4）B
（5）B（6）A（7）D（8）D
二 、填空题（本大题共6小题 ，每小题5分 ，共30分）
（9）（10）
（11）（12），
（13） ，（14）
注 ：两个空的填空题第一个空填对得3分 ，第二个空填对得2分．
三 、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解:(Ⅰ)点在函数的图象上，
.
.
------------------6分
(Ⅱ)由,
得,
函数的单调减区间为
函数在上的单调减区间为
------------------13分
（16）（共13分）
解 ：（Ⅰ）等差数列中，,
.
.
数列的通项公式为.
------------------6分
（Ⅱ）数列是等差数列,,
.
.
,
，．
成等比数列 ，
．
.
即，
解得.
------------------13分
（17）（共14分）
解 ：（I）因为是平行四边形对角线交点 ，所以为中点
又为棱中点，所以
因为平面 ，平面，
所以平面……………………5分
（II）因为 ，
所以
又 ，，
所以
因为 ，
所以……………………10分
（III）因为是平行四边形对角线交点，所以为中点
又 ，，可求得
因为 ，所以
所以……………………14分
（18）（共13分）
解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，
；……………………4分
（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ，那么
……………………8分
（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，
所以由图可知,
小区人均月用水量低于立方米 ，则称为“节水小区”.……………………10分
由图可知 ，三个月后的该小区人均月用水量为
所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准.……………………13分
（19）（共13分）
解 ：（Ⅰ）由已知，，解得.
所以椭圆的标准方程为 ，离心率.……………………4分
（Ⅱ）由题意可知，由此可求得
所以点轨迹为以原点为圆心，半径为的圆 ，显然点在椭圆的内部
所以
当直线一条为椭圆的长轴 ，一条与轴垂直时，例如为长轴，时
把代入椭圆方程，可求得 ，由此，又
所以此时
当直线的斜率都存在时，
设直线 ，设
联立消去可得
所以.
同理 ，由可求得
综上 ，四边形面积的最大值为，此时直线一条为椭圆的长轴 ，一条与轴垂直.
………………13分
（20）（共14分）
解析 ：(Ⅰ)由求得
，代入
令得，
时，，单调递增 ；
时，，单调递减．
……………………4分
(Ⅱ)由
求得
时，当时 ，恒成立 ，单调递增，又
此时在区间内没有零点 ；
当时 ，当时 ，，单调递增；
当时， ，单调递减．又
此时欲使在区间内有零点 ，必有．
无解
当时 ，当时，恒成立，单调递减
此时欲使在区间内有零点，必有．
综上，的取值范围为．
……………………9分
(Ⅲ)不能．原因如下 ：
设有两个极值点 ， ，则导函数有两个不同的零点
，且 ，为方程的两根
同理
由此可知过两点 ，的直线方程为
若直线过点，则
前面已经讨论过若有两个极值点 ，则，显然不合题意．
综上 ，过两点，的直线不能过点．
……………………14分
论文
专利
科研成果
专著
